课本上的微分学基本定理一般有四个，分别是 Fermat 定理，Rolle 定理，Lagrange 中值定理和 Cauchy 中值定理，这篇文章简要梳理这几个定理，同时也会提到其他的微分学定理，如叙述导函数介值性的 Darboux 定理等。

Fermat 定理

首先需要明确极值点的定义：

设 $f(x)$ 在 $x_0$ 的一个邻域 $U(x)$ 上有定义。如果对于每个 $x \in U(x)$ 成立不等式
$$f(x) \le (\ge) f(x_0)$$
就称 $x_0$ 是 $f(x)$ 的一个极大值点（极小值点），$f(x)$ 在 $x_0$ 处达到极大值（极小值）。

Fermat 定理是说，若 $x_0$ 是 $f$ 的极值点，且 $f'(x_0)$ 存在，则 $f'(x_0) = 0$。

接下来给出 Fermat 定理的第一个证明：

由 $f(x) = f(x_0) + f'(x)(x - x_0) + o(x - x_0) = f(x_0) + [f'(x_0) + o(1)](x - x_0)$，若 $f'(x_0) \ne 0$，当 $x$ 经过 $x_0$ 时，$f(x) - f(x_0)$ 变号，与 $x_0$ 是极值点矛盾，因此 $f'(x_0) = 0$。

称满足 $f'(x_0) = 0$ 的点 $x_0$ 为驻点。

将这个方法拓展，可以得到高阶导数表述的极值的充分条件，其核心是 Taylor 公式。

接下来使用另一种方法证明 Fermat 定理，先证明一个引理：

设 $f$ 在 $x_0$ 处存在右侧导数 $f'_+(x_0) > 0$，则存在 $\delta > 0$，使得 $\forall x_0 < x < x_0 + \delta$，有 $f(x) > f(x_0)$。

证明：由

$$ f'_+(x_0) = \lim_{x \to x_0^+} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} $$

根据函数极限的保号性即证。

类似的可证明若 $\exists \delta > 0$，使得 $\forall x_0 < x < x_0 + \delta$，有 $f(x) \ge f(x_0)$，则 $f'_+(x_0) \ge 0$。

下面证明 Fermat 定理。

不妨设 $x_0$ 是极小值点，则 $\exists \delta > 0$，$\forall x \in U(x_0, \delta)$，有 $f(x) \ge f(x_0)$。

由于存在导数 $f'(x_0)$，所以两个单侧导数存在且相等，结合引理知 $f'_+(x_0) \ge 0$，$f'_-(x_0) \le 0$，于是 $f'(x_0) = 0$。

Rolle 定理

Rolle 定理：设 $f$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 上可微，且有 $f(a) = f(b)$，则 $\exists \xi \in (a, b)$，使 $f'(\xi) = 0$。

第一个证明是大多数教科书上给出的：

不妨设 $f$ 在 $[a, b]$ 上不是常值函数（否则结论是显然的），则 $f$ 在 $[a, b]$ 上取到最大值 $M$ 和最小值 $m$，结合 $f(a) = f(b)$ 知 $m$ 和 $M$ 中至少有一个在 $(a, b)$ 中取到，设这个极值点为 $\xi$，由 Fermat 定理知 $f'(\xi) = 0$。

事实上，Rolle 定理的证明可以完全脱离连续函数的其他性质，下面给出的是 Samuleson 用闭区间套定理的证明：

作辅助函数

$$ F(x) = f(x) - f\left(x + \frac{b - a}{2}\right), a\le x \le \frac{a + b}{2} $$

则

$$ F(a) = -F\left(\frac{a + b}{2}\right) $$

在区间 $[a, (a + b) / 2]$ 上用零点存在定理，知道存在 $a_1 \in [a, (a + b) / 2]$ 使得 $F(a_1) = 0$。记 $b_1 = a_1 + (b - a) / 2$，就有

$$ f(a_1) = f(b_1), [a_1, b_1] \subset [a, b], b_1 - a_1 = \frac{1}{2}(b - a) $$

重复以上步骤，得到一个闭区间套 $\{[a_n, b_n]\}$，满足

$$ b_n - a_n = \frac{1}{2^n}(b - a), f(a_n) = f(b_n) $$

由闭区间套定理，存在唯一的点 $\xi$，满足

$$ \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} b_n = \xi $$

且容易证明 $\xi \in (a, b)$。

由于 $f$ 在点 $\xi \in (a, b)$ 处可导，有

$$ \begin{aligned} f(b_n) = f(\xi) + f'(\xi)(b_n - \xi) + o(b_n - \xi) \\ f(a_n) = f(\xi) + f'(\xi)(a_n - \xi) + o(a_n - \xi) \\ \end{aligned} $$

就有

$$ f'(\xi) = \lim_{n \to \infty} \frac{f(b_n) - f(a_n)}{b_n - a_n} = 0 $$

Lagrange 中值定理

Lagrange 中值定理：设 $f$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 上可微，则存在 $\xi \in (a, b)$，使

$$ f'(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} $$

第一个证明是使用 Rolle 定理的证明：

不妨设 $f(a) \ne f(b)$（否则即为 Rolle 定理），作辅助函数

$$ F(x) = f(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a} x $$

易见 $F(a) = F(b)$，由 Rolle 定理知存在 $\xi \in (a, b)$ 使 $F'(\xi) = 0$。

即

$$ f'(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} $$

第二个证明是使用行列式的证明：

令

$$ \Delta(x) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & x \\ f(a) & f(b) & f(x) \end{vmatrix} $$

显然有 $\Delta(a) = \Delta(b) = 0$，由 Rolle 定理知存在 $\xi \in (a, b)$，使得 $\Delta'(x) = 0$，即

$$ \Delta'(x) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ a & b & 1 \\ f(a) & f(b) & f'(x) \end{vmatrix} = 0 $$

这就是所要证的。

这个方法具有明显的几何意义，$|\Delta(x)|$ 即为 $(a, f(x)), (b, f(b))$ 和 $(x, f(x))$ 三点构成的三角形的面积，以此为出发点给出了证明。

Cauchy 中值定理

Cauchy 中值定理：设函数 $f, g$ 在 $[a, b]$ 上连续，$(a, b)$ 上可导，则存在 $\xi \in (a, b)$，使

$$ f'(\xi)(g(b) - g(a)) = g'(\xi)(f(b) - f(a)) $$

证明：作辅助函数 $F(t) = f(t)(g(b) - g(a)) - g(t)(f(b) - f(a))$，易见 $F(a) = F(b) = 0$，由 Rolle 定理知存在 $\xi \in (a, b)$ 使 $F'(\xi) = 0$，即

$$ f'(\xi)(g(b) - g(a)) = g'(\xi)(f(b) - f(a)) $$

Cauchy 中值定理也有其几何意义，考虑二维平面上的一条连续曲线，选定两个点，那么一定存在曲线上的某一点的切线斜率等于这两点确定的割线的斜率。

在实际使用中，更常见的形式是

$$ \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} $$

其实并没有特别大的区别。

导函数有一些特殊的性质，下面是两个跟导函数有关的定理。

Darboux 定理

Darboux 定理：设 $f$ 在区间 $I$ 上可微，则 $f'$ 具有介值性质。

证明：不妨设 $f$ 在 $[a, b]$ 上可微（端点处按单侧导数理解），$f'(a) < f'(b)$。

$\forall c \in (f'(a), f'(b))$，作辅助函数 $F(x) = f(x) - cx$，$F'(x) = f'(x) - c$。

由于 $F'(a) < 0$，$F'(b) > 0$，于是 $F(a), F(b)$ 均不是 $F(x)$ 在 $[a, b]$ 上的最小值。由 Fermat 定理，存在 $F(x)$ 的最小值点 $x_0$，使得 $F'(x_0) = 0$，即 $f'(x_0) = c$。

导函数无第一类间断点

设 $f$ 在区间 $(a, b)$ 上可微，则 $f'(x)$ 不会有第一类间断点。

证明：由于 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内处处可导，所以 $\forall x_0 \in (a, b)$，

$$ f'(x_0) = f'_+(x_0) = \lim_{x \to x_0^+} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \lim_{x \to x_0^+} f'(\xi)(x_0 < \xi < x) $$

于是当 $f'(x_0^+)$ 存在时，必有 $f'(x_0^+) = f'(x_0)$。同理当 $f'(x_0^-)$ 存在时，必有 $f'(x_0^-) = f'(x_0)$。

若 $x_0$ 为第一类不间断点，则 $f'(x_0^-) = f'(x_0^+)$，恰恰说明 $f'(x)$ 在 $x_0$ 处连续，矛盾。

注意：导函数可以有第二类间断点，如经典的例子：

$$ f(x) = \begin{cases} x^2 \sin \dfrac{1}{x}, x \ne 0 \\ 0, x = 0 \end{cases} $$

计算可知

$$ f'(x) = \begin{cases} 2x \sin \dfrac{1}{x} - \cos \dfrac{1}{x}, x \ne 0 \\ 0, x = 0 \end{cases} $$

显然 $f'(x)$ 在 $x = 0$ 处不连续，$\lim \limits_{x \to 0} f'(x)$ 不存在，$x = 0$ 是第二类间断点。

Taylor 定理

带 Peano 余项的 Taylor 公式

若函数 $f$ 在点 $x_0$ 处存在 $n$ 阶导数 $f^{(n)}(x_0)$，则有

$$ f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \cdots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n + o((x - x_0)^n) $$

证明：设

$$ p_n(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \cdots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n, r_n(x) = f(x) - p_n(x) $$

我们的目的是证明

$$ \lim_{x \to x_0} \frac{r_n(x)}{(x - x_0)^n} = 0 $$

反复利用 Cauchy 中值定理，得到

$$ \begin{aligned} \frac{r_n(x)}{(x - x_0)^n} &= \frac{r_n'(\xi_1)}{n(\xi_1 - x_0)^{n - 1}} \\ &= \frac{r_n''(\xi_2)}{n(n - 1)(\xi_2 - x_0)^{n - 2}} \\ &= \cdots \\ &= \frac{r^{(n - 1)}(\xi_{n - 1})}{n!(\xi_{n - 1} - x_0)} \end{aligned} $$

不断使用 L'Hospital 法则也可以得到类似的结果。这个式子仍是 $0 / 0$ 型，但不能再使用中值定理或者 L'Hospital 法则，因为只知道 $r_n(x)$ 在 $x_0$ 处有 $n$ 阶导数，不能确定在 $x_0$ 的邻域上是否有 $n$ 阶导数。

事实上，只需要用导数的定义：

$$ \lim_{x \to x_0} \frac{r^{(n - 1)}(\xi_{n - 1})}{n!(\xi_{n - 1} - x_0)} = \frac{r^{(n)}(x_0)}{n!} = 0 $$

带 Lagrange 余项的 Taylor 公式

若 $f$ 在点 $x_0$ 的某邻域 $O(x_0)$ 上 $n + 1$ 阶可微，则对每个 $x \in O(x_0), x \ne x_0$，在 $x_0$ 和 $x$ 之间存在 $\xi$，使得

$$ f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \cdots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n + \frac{f^{(n + 1)}(\xi)}{(n + 1)!}(x - x_0)^{n + 1} $$

证明方法是类似的，但最后一步可以使用 Lagrange 中值定理来证，因为这里的条件要强得多。

带 Cauchy 余项的 Taylor 公式

若 $f$ 在点 $x_0$ 的某邻域 $O(x_0)$ 上 $n + 1$ 阶可微，则对每个 $x \in O(x_0), x \ne x_0$，在 $x_0$ 和 $x$ 之间存在 $\eta$，使得

$$ f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \cdots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n + \frac{f^{(n + 1)}(\eta)}{n!}(x - \eta)^n(x - x_0) $$

证明：固定 $x$，作辅助函数

$$ \varphi(t) = f(x) - [f(t) + f'(t)(x - t) + \cdots + \frac{f^{(n)}(t)}{n!}(x - t)^n] $$

则 $\varphi(x_0) = r_n(x), \varphi(x) = 0, \varphi'(t) = - \dfrac{f^{(n + 1)}(t)}{n!}(x - t)^n$。

由 Lagrange 定理，存在 $\eta \in (x, x_0)$，使得

$$ r_n(x) = \varphi'(\eta)(x_0 - x) $$

这就是所要证的。

利用这种方法也可以得到其他的余项形式。

Maclaurin 公式

由于历史原因，函数在 $x_0 = 0$ 处的 Taylor 公式也称为 Maclaurin 公式。这里列出了一些常见函数的 Maclaurin 公式：

$$ \text{e}^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \cdots + \frac{1}{n!}x^n + O(x^{n + 1}) $$

$$ \cos x = 1 - \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{4!}x^4 - \cdots + \frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n} + O(x^{2n + 2}) $$

$$ \sin x = x - \frac{1}{3!}x^3 + \cdots + \frac{(-1)^n}{(2n + 1)!}x^{2n + 1} + O(x^{2n + 3}) $$

$$ \tan x = x + \frac{1}{3}x^3 + \frac{2}{15}x^5 + \cdots + \frac{B_n(2^{2n} - 1)2^{2n}}{(2n)!} x^{2n - 1} + O(x^{2n + 1}) $$

$$ \ln(1 + x) = x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 - \cdots + \frac{(-1)^{n - 1}}{n}x^n + O(x^{n + 1}) $$

$$ (1 + x)^{\alpha} = 1 + \frac{\alpha}{1!}x + \frac{\alpha(\alpha - 1)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{\alpha(\alpha - 1) \cdots (\alpha - n + 1)}{n!}x^n + O(x^{n + 1}) $$

$$ \arctan x = x - \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{5}x^5 - \cdots + \frac{(-1)^n}{2n + 1}x^{2n + 1} + O(x^{2n + 3}) $$

$$ \arcsin x = x + \frac{1}{3!}x^3 + \frac{(3!!)^2}{5!}x^5 + \cdots + \frac{[(2n - 1)!!]^2}{(2n + 1)!}x^{2n + 1} + O(x^{2n + 3}) $$