还是得引用一句名言:

数学系学生不学解析几何,就像玩游戏不玩原神。

使用的教材是丘维声所著《解析几何》,没看过其他的教材,主要是前五章的内容。

几何空间的线性结构和度量结构

向量的加法,数乘,定比分点这些都是高中内容,就不写了。

这一章还有 Menelaus 定理和 Ceva 定理,爷青回了属于是。

三点(或两向量)共线的条件

设平面上两个向量 $\vec{a} = (a_1, a_2)'$,$\vec{b} = (b_1, b_2)'$,那么 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 共线的充要条件是

$$ \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} = 0 $$

在三个点 $A$,$B$,$C$ 所在的平面上取一个仿射标架 $[O; \vec{d_1}, \vec{d_2}]$,设 $A$,$B$,$C$ 的坐标是 $(x_i, y_i)(i = 1, 2, 3)$,则 $A$,$B$,$C$ 三点共线的充要条件是

$$ \begin{vmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \\ y_1 & y_2 & y_3 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{vmatrix} = 0 $$

这二者可以用行列式的性质互相转化。

设两个向量 $\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)'$,$\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)'$,则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线的充要条件是

$$ \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_3 & b_3 \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_2 & b_2 \\ a_3 & b_3 \\ \end{vmatrix} = 0 $$

射影和分量

这部分内容其实高中也学过,只是换了个名字和表示方式。

考虑向量 $\vec{a}$ 和一个任意的方向向量 $\vec{e}$,$\vec{a}$ 在 $\vec{e}$ 上的分量是一个实数

$$ \Pi_{\vec{e}}(\vec{a}) = |\vec{a}| \cos \langle \vec{a}, \vec{e} \rangle $$

$\vec{a}$ 在 $\vec{e}$ 上的内射影是一个向量

$$ \mathscr{P}_{\vec{e}}(\vec a) = \Pi_{\vec{e}} (\vec{a}) \vec{e} $$

$\vec{a}$ 在 $\vec{e}$ 上的外射影也是类似的定义。内射影对应内积,外射影对应外积。

向量的外积

两个向量 $\vec a$ 与 $\vec b$ 的外积(记作 $\vec a \times \vec b$)仍是一个向量,长度规定为

$$ |\vec a \times \vec b| = |\vec a| |\vec b| \sin \langle \vec a, \vec b \rangle $$

它的方向规定为:与 $\vec a$ 和 $\vec b$ 均垂直,并且使 $(\vec a, \vec b, \vec a \times \vec b)$ 成右手系。高中物理好像有类似的东西?就是右手四指从 $\vec a$ 弯向 $\vec b$(转角小于 $\pi$),拇指指向的方向就是 $\vec a \times \vec b$ 的方向。

跟内积一样,外积也有明显的几何意义。很显然 $|\vec a \times \vec b|$ 是以 $\vec a$ 和 $\vec b$ 为邻边的平行四边形的面积。于是我们有了一个三角形的面积公式:在平面右手直角坐标系内,$\triangle ABC$ 的三个顶点 $A$,$B$,$C$ 的坐标分别为 $(x_i, y_i)'(i = 1, 2, 3)$,则

$$ |S_{\triangle ABC}| = \frac{1}{2} \begin{vmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \\ y_1 & y_2 & y_3 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} $$

做内积的时候我们经常用内射影简化,外积也有类似的操作。若 $\vec a\ne 0$,则 $\vec a \times \vec b = \vec a \times \overrightarrow{b_2}$,其中 $\overrightarrow{b_2}$ 是 $\vec b$ 在 $\vec{a}^0$ 上的外射影。

在右手直角坐标系中,有

$$ \overrightarrow{e_1} \times \overrightarrow{e_2} = \overrightarrow{e_3}, \overrightarrow{e_2} \times \overrightarrow{e_3} = \overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_3} \times \overrightarrow{e_1} = \overrightarrow{e_2} $$

外积的运算符合分配律,但不符合结合律。外积具有反交换律。

设 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 在右手直角坐标系中的坐标为 $(a_i, b_i, c_i)'(i = 1, 2)$,则 $\vec a \times \vec b$ 的坐标为

$$ \left( \begin{vmatrix} a_2 & b_2 \\ a_3 & b_3 \\ \end{vmatrix}, - \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_3 & b_3 \\ \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} \right)' $$

注意这只有在右手直角坐标系内才成立。正常人都会用右手直角坐标系吧。

上式也可以记作

$$ \vec a \times \vec b = \begin{vmatrix} \overrightarrow{e_1} & a_1 & b_1 \\ \overrightarrow{e_2} & a_2 & b_2 \\ \overrightarrow{e_3} & a_3 & b_3 \\ \end{vmatrix} $$

外积还有两个神秘公式。

二重外积公式:

$$ \vec a \times (\vec b \times \vec c) = (\vec a \cdot \vec c) \vec b - (\vec a \cdot \vec b) \vec c $$

Jacobi 等式:

$$ \vec a \times (\vec b \times \vec c) + \vec b \times (\vec c \times \vec a) + \vec c \times (\vec a \times \vec b) = 0 $$

二重外积公式还有点用,这个 Jacobi 等式一次没用过。

(原来 Jacobi 等式跟 Lie 代数有关系!)

向量的混合积

称 $\vec a \times \vec b \cdot \vec c$ 为 $\vec a$,$\vec b$,$\vec c$ 的混合积,它的大小表示以 $\vec a$,$\vec b$,$\vec c$ 为三条棱的平行六面体的体积。

可以证明外积和内积的顺序对结果毫无影响,因此也把上式记作 $(\vec a, \vec b, \vec c)$。注意仍然是先做外积再做内积。注意外积的交换律!!做外积的两个向量可以换,位置不能变。

取仿射标架 $[O; \overrightarrow{d_1}, \overrightarrow{d_2}, \overrightarrow{d_3}]$,设 $\vec a$,$\vec b$,$\vec c$ 的坐标为 $(a_i, b_i, c_i)'(i = 1, 2, 3)$。

$$ \vec a \times \vec b \cdot \vec c = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \\ \end{vmatrix} \overrightarrow{d_1} \times \overrightarrow{d_2} \cdot \overrightarrow{d_3} $$

在右手直角坐标系中,后面那个式子等于 $1$。

用向量的混合积可以判断三个向量共面或者四点共面,三个向量共面即混合积为 $0$。

设四个点的坐标为 $(x_i, y_i, z_i)'(i = 1 ,2, 3, 4)$,则四点共面的充要条件为

$$ \begin{vmatrix} x_1 & x_2 & x_3 & x_4 \\ y_1 & y_2 & y_3 & y_4 \\ z_1 & z_2 & z_3 & z_4 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ \end{vmatrix} = 0 $$

注意这个式子在任意仿射标架内都成立。

Lagrange 恒等式

对任意四个向量 $\vec a$,$\vec b$,$\vec c$,$\vec d$,有

$$ (\vec a \times \vec b) \cdot (\vec c \times \vec d) = \begin{vmatrix} \vec a \cdot \vec c & \vec a \cdot \vec d \\ \vec b \cdot \vec c & \vec b \cdot \vec d \end{vmatrix} $$

不知道有啥用,先记下来再说。

空间的平面和直线

仿射坐标系中平面的方程,两平面的相关位置

取定仿射标架 $[O; \overrightarrow{d_1}, \overrightarrow{d_2}, \overrightarrow{d_3}]$,已知一个点 $M_0(x_0, y_0, z_0)'$,向量 $\overrightarrow{v_1} = (X_1, Y_1, Z_1)'$ 和 $\overrightarrow{v_2} = (X_2, Y_2, Z_2)'$。

显然 $M$ 和 $\overrightarrow{v_1}$,$\overrightarrow{v_2}$ 确定了一个平面 $\pi$,可以写出参数方程:

$$ \begin{cases} x = x_0 + \lambda X_1 + \mu X_2, \\ y = y_0 + \lambda Y_1 + \mu Y_2 \\ z = z_0 + \lambda Z_1 + \mu Z_2 \end{cases} $$

由三个向量共面的充要条件,可以写出平面 $\pi$ 的普通方程:

$$ \begin{vmatrix} x - x_0 & X_1 & X_2 \\ y - y_0 & Y_1 & Y_2 \\ z - z_0 & Z_1 & Z_2 \end{vmatrix} = 0 $$

由此可以证明任意一个三元一次方程

$$ Ax + By + Cz + D = 0 $$

表示一个平面。

向量 $\vec \omega = (r, s, t)'$ 平行于平面 $\pi$ 或在 $\pi$ 上的充要条件是

$$ Ar + Bs + Ct = 0 $$

但注意 $(A, B, C)'$ 不一定是平面 $\pi$ 的法向量,这在直角坐标系内才成立。

这三个平面的方程为 $A_i x + B_i y + C_i z + D_i = 0(i = 1, 2, 3)$,三个平面恰交于一点的充要条件是

$$ \begin{vmatrix} A_1 & B_1 & C_1 \\ A_2 & B_2 & C_2 \\ A_3 & B_3 & C_3 \end{vmatrix} \ne 0 $$

这其实是 Cramer 法则的直接推论。

直角坐标系中平面的方程,点到平面的距离

取一个直角标架 $[O; \overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2}, \overrightarrow{e_3}]$,点 $M_0(x_0, y_0, z_0)'$,向量 $\vec n = (a, b, c)'$,则该点和以 $\vec n$ 为法向量确定的平面方程为

$$ a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0 $$

在直角坐标系内,点 $P(x_1, y_1, z_1)'$ 到平面

$$ \pi : Ax + By + Cz + D = 0 $$

的距离为

$$ d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} $$

求两个平面的夹角,这是高中内容吧。

直线的方程,直线、平面间的位置关系

取一个仿射标架 $[O; \overrightarrow{d_1}, \overrightarrow{d_2}, \overrightarrow{d_3}]$,点 $M_0(x_0, y_0, z_0)'$,方向向量 $\vec v = (X, Y, Z)'$,则由这个点和方向向量确定的直线的参数方程为

$$ \begin{cases} x = x _0 + tX \\ y = y_0 + tY \\ z = z_0 + tZ \end{cases} $$

简单变形可得直线的标准方程(点向式方程):

$$ \frac{x - x_0}{X} = \frac{y - y_0}{Y} = \frac{z - z_0}{Z} $$

任意一条直线可以看成两个平面的交线,于是也可以用两个三元一次方程表示一条直线,这种方程称为直线的普通方程。

很多题目需要把直线的普通方程化为标准方程,一个很蠢的方法是解出两组解,肯定能算出来。另外一个做法是先找交线上的任意一个点,然后求方向向量。

设两个平面的方程为

$$ Ax_i + By_i + Cz_i + D_i = 0, i = 1, 2 $$

事实上,可以证明坐标为

$$ \left( \begin{vmatrix} B_1 & C_1 \\ B_2 & C_2 \end{vmatrix}, - \begin{vmatrix} A_1 & C_1 \\ A_2 &C_2 \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} A_1 &B_1 \\ A_2 & B_2 \end{vmatrix} \right)' $$

的向量就是交线的一个方向向量。看起来很像法向量叉乘得到的向量,不过这个在不是直角坐标系的标架内也能用。

在仿射坐标系中,设直线 $l_i$ 经过点 $M_i(x_i, y_i, z_i)'$,方向向量为 $\vec{v} = (X_i, Y_i, Z_i)'$,则 $l_1$ 与 $l_2$ 相交的充要条件是

$$ \begin{vmatrix} x_2 - x_1 & X_1 & X_2 \\ y_2 - y_1 & Y_1 & Y_2 \\ z_2 - z_1 & Z_1 & Z_2 \end{vmatrix} = 0 $$

需要特殊考虑 $l_1$ 和 $l_2$ 重合的情况。

点、直线和平面之间的度量关系

本节均在右手直角坐标系中讨论。

点到直线的距离:叉乘求出平行四边形面积再除以方向向量长度(底)。

异面直线的距离:用混合积求出平行六面体体积再除以底面面积。

常见曲面

球面和旋转面

球面的方程就不说了,应该是高中内容。

一条曲线 $\Gamma$ 绕一条直线 $l$ 旋转所得的曲面称为旋转面,其中 $l$ 称为轴,$\Gamma$ 称为母线。

设轴 $l$ 经过点 $M_1(x_1, y_1, z_1)'$,方向向量为 $\vec{v} = (l, m, n)'$,母线 $\Gamma$ 的方程为

$$ \begin{cases} F(x, y, z) = 0 \\ G(x, y, z) = 0 \end{cases} $$

设 $M(x, y, z)$ 在旋转面上,$M_0(x_0, y_0, z_0)$ 在母线 $\Gamma$ 上,则

$$ \begin{cases} F(x_0, y_0, z_0) = 0 \\ G(x_0, y_0, z_0) = 0 \\ |\overrightarrow{MM_1} \times \overrightarrow{v}| = |\overrightarrow{M_0M_1} \times \overrightarrow{v}| \\ l(x - x_0) + m(y - y_0) + n(z - z_0) = 0 \end{cases} $$

消去 $x_0, y_0, z_0$ 就得到 $x, y, z$ 的方程,它就是所求旋转面的方程。

这里第三个条件也可以换成 $M$ 和 $M_0$ 到轴上一点的距离相等。

柱面和锥面

一条直线 $l$ 沿着一条空间曲线 $C$ 平行移动时所形成的曲面称为柱面,其中 $l$ 称为母线,$C$ 称为准线。

设一个柱面的母线方向为 $\vec{v} = (l, m, n)'$,准线 $C$ 的方程为

$$ \begin{cases} F(x, y, z) = 0 \\ G(x, y, z) = 0 \end{cases} $$

设 $M(x, y, z)$ 在柱面上,$M_0(x_0, y_0, z_0)$ 在准线 $C$ 上,则

$$ \begin{cases} F(x_0, y_0, z_0) = 0 \\ G(x_0, y_0, z_0) = 0 \\ x = x_0 + lu \\ y = y_0 + mu \\ z = z_0 + nu \end{cases} $$

消去 $x_0, y_0, z_0, u$ 就得到 $x, y, z$ 的方程,它就是所求柱面的方程。

圆柱面一类特殊的柱面。它的准线是一个圆 $C$,母线和这个圆垂直。如果知道圆的半径 $r$,母线方向是 $\vec{v} = (l, m, n)'$,对称轴经过点 $M_0(x_0, y_0, z_0)'$,则点 $M(x, y, z)'$ 在此圆柱面上点充要条件是

$$ \frac{|\overrightarrow{MM_0} \times \overrightarrow{v}|}{|\overrightarrow{v}|} = r $$

对于圆锥面,它有一根对称轴 $l$,每一条母线与轴 $l$ 所成的角都相等,称为圆锥面的半顶角。与轴 $l$ 垂直的平面截圆锥面所得交线为圆。设顶点 $M_0(x_0, y_0, z_0)'$,轴 $l$ 的方向向量 $\vec{v}$,半顶角 $\alpha$,则点 $M(x, y, z)'$ 在圆锥面上的充要条件是

$$ |\cos \langle \overrightarrow{M_0M}, \overrightarrow{v} \rangle| = \cos \alpha $$

二次曲面

椭球面比较简单,就不说了。

方程

$$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1, a, b, c > 0 $$

表示的曲面称为单叶双曲面(长得跟广州塔一样)。

方程

$$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = -1, a, b, c > 0 $$

表示的曲面称为双叶双曲面,类似于两个正对着的穹顶。

将上面两个方程右边的数字改为 $0$,得到的是渐进锥面,类比于双曲线的渐近线。

方程

$$ \frac{x^2}{p} + \frac{y^2}{q} = 2z, p, q > 0 $$

表示的曲面称为椭圆抛物面,看起来像是抛物线沿着对称轴旋转得到的曲面(注意只是看起来像,其实截面是个椭圆)。

方程

$$ \frac{x^2}{p} - \frac{y^2}{q} = 2z, p, q > 0 $$

表示的曲面称为双曲抛物面,又称马鞍面(很形象,另外一个例子是薯片),它是一条抛物线沿一条抛物线移动形成的曲面。

其他的二次曲面都比较弱智,就不提了。

直纹面

直纹面似乎有更深刻的背景?好像在微分几何里面会用到。

一曲面 $S$ 称为直纹面,如果存在一族直线,使得这一族直线中的每一条直线都在 $S$ 上,并且 $S$ 上的每个点都在这一族的某一条直线上。这样一族直线称为 $S$ 的一族直母线。也可以理解成曲面可以由一条直线移动形成。

二次柱面和二次锥面显然都是直纹面;椭球面显然不是直纹面,因为它有界;双叶双曲面不是直纹面,因为几乎所有直线都会经过中间那一段空白的地方(直观理解);类似地可知椭圆抛物面也不是直纹面。而单叶双曲面和双曲抛物面都是直纹面。

理解单叶双曲面是直纹面的一个非常好的例子就是广州塔。广州塔的外部有许多钢柱,这些钢柱就可以看作一族直母线。

设单叶双曲面 $S$ 的方程是

$$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1 $$

则 $S$ 有两族直母线,一族为

$$ \begin{cases} \mu\left(\dfrac{x}{a} + \dfrac{z}{c} \right) + \nu\left(1 + \dfrac{y}{b} \right) = 0 \\[1em] \mu\left(1 - \dfrac{y}{b} \right) + \nu\left(\dfrac{x}{a} - \dfrac{z}{c} \right) = 0 \end{cases} $$

另一族为

$$ \begin{cases} \mu\left(\dfrac{x}{a} + \dfrac{z}{c} \right) + \nu\left(1 - \dfrac{y}{b} \right) = 0 \\[1em] \mu\left(1 + \dfrac{y}{b} \right) + \nu\left(\dfrac{x}{a} - \dfrac{z}{c} \right) = 0 \end{cases} $$

马鞍面也是直纹面,似乎不太好想象,记下来吧。在网上搜到个结论,固定空间内的两条异面直线和一个不平行于这两条直线中任意一条的平面,则所有与这两条直线相交且与固定平面平行的直线形成的曲面是马鞍面。

设马鞍面的方程为

$$ \frac{x^2}{p} = \frac{y^2}{q} = 2z $$

它的两族直母线为

$$ \begin{cases} \left(\dfrac{x}{\sqrt p} + \dfrac{y}{\sqrt q} \right) + 2 \lambda = 0 \\[1em] z + \lambda\left(\dfrac{x}{\sqrt p} - \dfrac{y}{\sqrt q} \right) = 0 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} \lambda\left(\dfrac{x}{\sqrt p} + \dfrac{y}{\sqrt q} \right) + z = 0 \\[1em] 2\lambda + \left(\dfrac{x}{\sqrt p} - \dfrac{y}{\sqrt q} \right) = 0 \end{cases} $$

坐标变换

这一章就这一个内容:设右手直角坐标系 II 中的原点在 I 中的坐标为 $(x_0, y_0)'$,两个基向量的坐标分别为 $(a_{11}, a_{21})'$ 和 $(a_{12}, a_{22})'$,则从 I 到 II 的过渡矩阵为

$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} $$

点的坐标变换公式为

$$ \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = A \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} x_0 \\ y_0 \end{bmatrix} $$

向量的坐标变换公式为

$$ \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = A \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} $$

注意这里 $A$ 是一个正交矩阵,即 $A' = A^{-1}$。

移轴公式和转轴公式

假设从 $\overrightarrow{e_1}$ 到 $\overrightarrow{e_1'}$ 的转角为 $\theta$,则 I 到 II 的点的坐标变换公式为

$$ \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta & - \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} x_0 \\ y_0 \end{bmatrix} $$

平移坐标系叫移轴,旋转坐标系叫转轴。

二次曲线方程的化简及其类型和性质

这一章的内容没讲完,讲到哪复习到哪。

二次曲线方程的化简及其类型

设二次曲线的方程为

$$ F(x, y) = a_{11}x^2 + 2a_{12}xy + a_{22}y^2 + 2a_1 x + 2a_2 y + a_0 = 0 $$

先写出二次项部分的矩阵

$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22} \end{bmatrix} $$

计算 $A$ 的两个特征值 $\lambda_1, \lambda_2$,计算对应的特征向量并将其单位化,排成一个矩阵

$$ T = \begin{bmatrix} \eta_1 & \eta_2 \end{bmatrix} $$

作转轴

$$ \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = T \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} $$

就消去交叉项。

对于一次项,有

$$ \begin{bmatrix} a_1' \\ a_2' \end{bmatrix} = T'\begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \end{bmatrix} $$

作转轴后的方程为

$$ \lambda_1 x'^2 + \lambda_2 y'^2 + 2a_1'x' + 2a_2'y' + a_0 = 0 $$

接下来只需要配方,作对应移轴即可。

如果只需要判断曲线类型,也可以不进行这么复杂的化简。

$$ I_1 = \text{tr} A, I_2 = \det A, I_3 = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_1 \\ a_{12} & a_{22} & a_2 \\ a_1 & a_2 & a_0 \end{vmatrix} $$

然后查表即可。

Last modification:December 15, 2023
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