$(\mathbb{R} -\{0\}, \cdot)$ 与 $(\mathbb{C} - \{0\}, \cdot)$ 不同构。

这是显然的，因为前者没有阶大于 $2$ 的元素，但后者有无数多个。

$(\mathbb{R}, +)$ 与 $(\mathbb{Q}, +)$ 不同构。

我们知道 $\mathbb{R}$ 和 $\mathbb{Q}$ 不等势，自然不同构。

$(\mathbb{Q}, +)$ 与 $(\mathbb{Z}, +)$ 不同构。

假设这样的同构 $\varphi: \mathbb{Z} \to \mathbb{Q}$ 存在：

$$ \varphi(a + b) = \varphi(a) + \varphi(b), a, b \in \mathbb{Z} $$

显然 $\varphi(0) = 0$，于是 $\varphi(1) = \dfrac{m}{n} \ne 0(\gcd(n, m) = 1)$。

则有 $\varphi^{-1}\left(\dfrac{m}{n}\right) = 2x = 1$，其中 $x \in \mathbb{Z}$，矛盾！于是这样的 $\varphi$ 不存在。

Last modification：March 9, 2024
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