引入

旧版的高中数学教材中并没有提到全概率公式和贝叶斯公式，只是简单的介绍了条件概率，并且不是考试的重点内容。

但随着新教材的推行，越来越多的模拟卷中出现了贝叶斯公式的相关内容，甚至旧教材的模拟卷也在大题中开始考察条件概率，因此在这里做一个总结。

条件概率

我周围的很多同学对条件概率都处于半懂不懂的阶段，比较典型的情况是分不清 $P(AB)$ 与 $P(A \mid B)$。事实上，这二者的样本空间是不同的。一个很经典的问题是：已知一对父母生了两个孩子，已知其中一个是男孩，则另一个也是男孩的概率是多少？很多人在不经过思考的情况下会脱口而出 $0.5$，但实际上答案是 $0.75$；而若把问题改为已知第一个孩子是男孩，求第二个孩子也是男孩的概率，答案就是 $0.5$。

我最近做到了一道关于条件概率的题目，内容如下：某种疾病的患病率为 $0.4 \%$，血检阳性概率为 $1\%$，患该疾病者血检阳性的概率为 $99\%$，已知某人血检呈阳性，求此人患该疾病的概率。这道题全年级做对的人数仅有个位数，但它其实是一道十分基础的条件概率题目。设患该疾病为 $A$，血检阳性为 $B$，则 $P(A) = 0.4\%$，$P(B) = 1\%$，$P(B \mid A) = 99\%$，$P(AB) = P(B \mid A) \cdot P(A) = 39.6 \%$，答案为 $P(A \mid B) = \dfrac{P(AB)}{P(B)} = 39.6 \%$。

全概率公式

设 $B_i$ 和 $B_j$ 互斥且 $B_1 + B_2 + \cdots + B_n = \Omega$，则 $P(A) = P(A \Omega) = P(AB_1) + P(AB_2) + \cdots + P(AB_n)$，这种写法并不少见，在证明若 $A$ 和 $B$ 独立，则 $\overline A$ 和 $\overline B$ 独立时用到过，不过肯定有很多人不会证。

根据条件概率公式，$P(AB_i) = P(A \mid B_i)P(B_i)$，于是上式可以写成 $P(A) = \sum \limits_{i = 1}^n P(B_i)P(A \mid B_i)$，这便是全概率公式。

总的来看，全概率公式允许我们将 $P(A)$ 分成若干种较容易的情况计算。从另一方面理解，我们可以把 $B_i$ 看做导致 $A$ 发生的一种可能途径，而 $P(A \mid B_i)$ 刻画了不同途径发生的概率。

我们考虑下面这个情况：设一个家庭有 $k$ 个小孩的概率为 $p_k$，求家庭中所有小孩都为同一性别的概率。设事件 $A$ 表示家庭中所有小孩为同一性别，$B_i$ 表示家庭中有 $i$ 个小孩，由全概率公式，$P(A) = \sum \limits_{i \ge 1} P(B_i)P(A \mid B_i) = p_i \cdot 2 \cdot (0.5)^i = \sum \limits_{i \ge 1} \dfrac{p_i}{2^{i - 1}}$。

贝叶斯公式

对全概率公式再做变形，就得到贝叶斯公式：$P(B_i \mid A) = \dfrac{P(AB_i)}{P(A)} = \dfrac{P(B_i)P(A \mid B_i)}{\sum \limits_j P(B_j)P(A \mid B_j)}$。

这个公式在我的脑海中是概率论最为著名的公式之一，在知道了 $A$ 发生之后，$B_i$ 发生的可能性出现了变化。在生活中也有类似的情况：原本概率极小的事件，在经过某件事的发生之后，概率会变得很大。就比如我打开手机玩音游，玩 Arcaea 的可能性不大，但如果我又说刚才看了谜语人剧情，那么我玩 Arcaea 的可能性就变大了许多。

下面是一道模拟卷中的题目：临床上有某种实验诊断实验者是否患有某种癌症，设 $A$ 表示试验结果为阳性，$B$ 表示试验者患有癌症，已知 $P(A \mid B) = 0.99$，$P(\overline A \mid \overline B) = 0.98$，某地人群患癌症的概率为 $0.001$，某人试验结果为阳性，求此人患癌症的概率。由贝叶斯公式，$P(B \mid A) = \dfrac{P(B)P(A \mid B)}{P(B)P(A \mid B) + P(\overline B) P(A \mid \overline B)} = \dfrac{11}{233}$。

回过头来看我们算出来的答案，这个人试验结果为阳性，按理来说应有很大的概率患癌症，但实际上他患癌症的概率只有 $4.7 \%$ 左右。从直观上理解，患癌症的概率实在太小，相比之下试验出错的概率就大得多了，因此即使试验结果为阳性，患癌症的概率也很低。这大概能体现贝叶斯公式哲理的一面吧。