随着高考数学对圆锥曲线和导数之外内容的考察难度越来越大,且有回归课本的趋势,我认为掌握一些经典定理(的证明)还是很有必要的。

那么我们开始吧~

柱体、锥体、台体的表面积

对于多面体,只需要把各个面的表面积相加,就得到这个多面体的表面积。

对于圆柱和圆锥,将其展成平面图形,容易得到圆柱的表面积 $S = 2 \pi r^2 + 2 \pi rl = 2 \pi r(r + l)$,圆锥的表面积 $S = \pi r^2 + \pi rl = \pi r (r + l)$,其中 $r$ 是底面半径长,$l$ 是母线长。

柱体、锥体、台体的体积

我们先介绍祖暅原理

夹在两个平行平面间的几何体,被平行于这两个平面的任何一个平面所截,如果截面的面积都相等,那么这两个几何题的体积相等。

然后就可以得到柱体的体积 $V = Sh$,其中 $S$ 是底面面积,$h$ 是高度。

对于锥体,容易想到我们只需要证明三棱锥时的情况。

考虑三棱柱 $ABC - A'B'C'$,设底面面积为 $S$,高为 $h$,那么这个三棱柱的体积为 $Sh$。将这个三棱柱分割成三个三棱锥 $A' - ABC, B' - A'BC, C' - A'B'C$,对于前两个三棱锥,因为 $S_{\triangle A'AB} = S_{\triangle A'B'B}$,且这两个三棱锥的高都等于 $C$ 到平面 $ABB'A'$ 的距离,所以这两个三棱锥的体积相等。同理可以得到这三个三棱锥的体积都相等,这样就得到第一个三棱锥的体积为 $\dfrac{1}{3} Sh$,而第一个三棱锥的底面面积恰好为 $S$,高度恰好为 $h$。这样我们就证明了三棱锥的体积为 $\dfrac{1}{3} Sh$。

对于台体,容易想到台体可以被认为是两个棱锥相减。设台体的上底面面积为 $S_1$,下底面面积为 $S_2$,高为 $h$。

不妨设被减掉的圆锥高为 $h_1$,整个圆锥的高为 $h_2$,由相似可得 $h_1 : h_2 = \sqrt{S_1} : \sqrt {S_2}$。

由棱锥的体积公式,得 $V = \dfrac{1}{3} ({S_2h_2 - S_1h_1})$。

又因为 $h = h_2 - h_1$,解得 $V = \dfrac{1}{3}(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1S_2})h$。

球体的体积公式

依旧考虑祖暅原理,我们需要找到一个几何体,使得任何一个水平面分别截它和球体时得到的截面面积相等。

我们先求一个半球的体积,整个球的体积只需要用半个球的体积乘 $2$。

考虑某一个平面截球得到的截面,容易发现截面一定是圆。设这个圆的半径为 $r$,球的半径为 $R$,截面到球心的距离为 $l$,那么有 $R^2 = r^2 + l^2$。

于是截面的面积 $S = \pi r^2 = \pi R^2 - \pi l^2$,这其实也可以看成一个内环半径为 $l$,外环半径为 $R$ 的圆环的面积。

由此,我们构造一个底面半径和高均为 $R$ 的圆柱,然后从圆柱中挖去一个以圆柱上底面为底面,下底面圆心为顶点的圆锥,这样就能对球和这个几何体使用祖暅原理,这个几何体的体积为 $V = \pi R^3 - \dfrac{1}{3} \pi R^3 = \dfrac{2}{3} \pi R^3$,也就是半球的体积。

于是球的体积为 $V = \dfrac{4}{3} \pi R^3$。

球体的表面积公式

事实上,我们还没有给出面积的定义式,上述所有的证明都是基于我们对几何体的直觉。因此,我们很难不使用微积分来求一个球的面积,毕竟面积本身就是由积分定义的。我所知道的不太依赖微积分的证明方式也都用到了一些“微分”的思想,已经与高中数学考察的内容大相径庭了,因此这个定理的证明略去。

直线与平面平行的判定定理

平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。

即 $a \not \subset \alpha, b \subset \alpha, a // b \implies a // \alpha$。

证明:假设 $a$ 与 $\alpha$ 不平行,设 $P = a \cap \alpha$。

由公理 2,$a$ 和 $b$ 确定了一个平面,设为 $\beta$,容易发现 $\alpha \cap \beta = b$。

由公理 3,$P \in b$,即 $a \cap b = P$,与 $a // b$ 矛盾。

综上,$a // \alpha$。

平面与平面平行的判定定理

一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。

即 $a \subset \beta, b \subset \beta, a \cap b = P, a // \alpha, b // \alpha \implies \beta // \alpha$。

证明:假设 $\beta$ 与 $\alpha$ 不平行,设 $l = \beta \cap \alpha$。

若 $a // l$,那么 $b$ 与 $l$ 有交点,设为 $Q$。

因为 $l \in \alpha$,所以 $b \cap \alpha = Q$,与 $b // \alpha$ 矛盾。

若 $a$ 与 $l$ 不平行,同理可得 $a$ 与 $\alpha$ 相交,与 $a // \alpha$ 矛盾。

综上,$\beta // \alpha$。

直线与平面平行的性质定理

一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

即 $a // \alpha, a \in \beta, \alpha \cap \beta = b \implies a // b$。

证明:因为 $a // \alpha, b \subset \alpha$,所以 $a$ 与 $b$ 无公共点。

因为 $a, b \subset \beta$,所以 $a // b$。

平面与平面平行的性质定理

如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行。

即 $\alpha // \beta, \alpha \cap \gamma = a, \beta \cap \gamma = b \implies a // b$。

证明:因为 $\alpha // \beta$,所以 $a$ 与 $b$ 无公共点。

因为 $a, b \subset \gamma$,所以 $a // b$。

直线与平面垂直的判定定理

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。

即 $m, n \subset \alpha, m \cap n = P, l \perp m, l \perp n \implies l \perp \alpha$。

证明:假设 $l$ 不与 $\alpha$ 垂直,那么 $l // \alpha$ 或者 $l$ 与 $\alpha$ 成 $\theta(0^/circ \le \theta < 90^\circ)$ 角。

若 $l // \alpha$,过 $l$ 作平面 $\beta \cap \alpha = a$。

由线面平行的性质定理,$l // a$,所以 $a \perp m, a \perp n$。

所以 $m // n$,与 $m \cap n = P$ 矛盾。

若 $l$ 与 $\alpha$ 成 $\theta$ 角,设 $l \cap \alpha = P$,过 $P$ 点作直线 $a \perp P$,则 $a // m, a // n$。

所以 $m // n$,与 $m \cap n = P$ 矛盾。

综上,$l \perp \alpha$。

平面与平面垂直的判定定理

一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。

即 $a \subset \alpha, a \perp \beta \implies \alpha \perp \beta$。

证明:即证明这两个平面的二面角是 $90^\circ$。

设 $a \cap \beta = P, \alpha \cap \beta = l$,过 $P$ 作 $PQ \perp l$ 且 $PQ \cap \beta$,在 $a$ 上任取一点 $R$。

因为 $a \perp \beta$,所以 $PR \perp PQ, \angle RPQ = 90^\circ$。

由二面角的定义,$\alpha$ 与 $\beta$ 的二面角是 $90^\circ$。

直线与平面垂直的性质定理

垂直于同一个平面的两条直线平行。

即 $a \perp \alpha, b \perp \alpha \implies a // b$。

证明:假设 $a$ 与 $b$ 不平行,$a \cap b = O$。

过 $O$ 作 $b' // a$,设 $b$ 与 $b'$ 确定平面 $\beta$,设 $\alpha \cap \beta = c$,则 $O \in c$。

因为 $a \perp \alpha, b \perp \alpha$,所以 $a \perp c, b \perp c$。

因为 $b' // a$,所以 $b' \perp c$,所以在平面 $\beta$,过 $O$ 有两条直线与 $c$ 垂直,矛盾。

综上,$a // b$。

平面与平面垂直的性质定理

两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

即 $\alpha \perp \beta, \alpha \cap \beta = a, l \perp a, l \subset \beta \implies l \perp \alpha$。

证明:设 $l \cap a = P$,在 $\alpha$ 内作 $PQ \perp a$,在 $l$ 上取一点 $R$,则 $\angle RPQ$ 是二面角 $\alpha - a - \beta$ 的平面角,大小为 $90^\circ$。

所以 $l \perp PQ$。

由线面垂直的判定定理,$l \perp \alpha$。

点到直线的距离

我觉得这不算是一个定理,但是有一个很漂亮的方法。

首先我们需要知道柯西不等式

$\forall x, y, z, w \in \mathbb{R}, (x^2 + y^2)(z^2 + w^2) \ge (xz + yw)^2$。

设 $P(x_0, y_0), l : Ax + By + C = 0$。

对于 $l$ 上任意一点 $Q(x, y), |PQ| = \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2}$。

由柯西不等式,$\sqrt{A^2 + B^2} \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} \ge \sqrt{(Ax - Ax_0 + By - By_0)^2} = |Ax_0 + By_0 + C|$。

所以 $|PQ| \ge \dfrac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$。

海伦-秦九韶公式

其实我感觉这个公式的证明没什么意思,就是设未知数然后带进去化简......

不妨设 $C$ 是 $\triangle ABC$ 中最大的角,作 $CH \perp AB$ 于点 $H$,设 $CH = h$,则 $S = \dfrac{1}{2}ch$。

注意到 $c = \sqrt{b^2 - h^2} + \sqrt{a^2 - h^2}$,将其代入 $S = \dfrac{1}{2} ch$ 并化简就可以得到 $S = \sqrt{\dfrac{1}{16}(a + b + c)(a + b - c)(b + c - a)(c + a - b)}$。

设 $p = \dfrac{1}{2}(a + b + c)$,则 $S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$。

两角差的余弦公式

$\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$。

证明:在单位圆中,设 $\overrightarrow{OA} = (\cos \alpha, \sin \alpha), \overrightarrow{OB} = (\cos \beta, \sin \beta)$,$\overrightarrow{OA}$ 与 $\overrightarrow{OB}$ 夹角为 $\theta$。

由向量的数量积,得 $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = \cos \theta = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$。

注意到 $\theta = \alpha - \beta + 2k \pi$,所以 $\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$。

和(差)角公式 / 二倍角公式

利用两角差的余弦公式和换元的思想,可以得出其他很多的三角函数公式,这里略过。

积化和差公式

$\sin \alpha \cos \beta = \dfrac{1}{2}[\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)]$。

证明:因为 $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$,$\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$,等号两边相加并除以 $2$ 就得到积化和差公式。

其他三个积化和差公式都可以用类似的方法得到。

和差化积公式

$\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \dfrac{\alpha + \beta}{2} \cos \dfrac{\alpha - \beta}{2}$。

证明:注意到 $\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) = 2 \sin \alpha \cos \beta$。

设 $\alpha + \beta = \theta, \alpha - \beta = \varphi$,则 $\alpha = \dfrac{\theta + \varphi}{2}, \beta = \dfrac{\theta - \varphi}{2}$,代入上式即证。

其他三个和差化积公式也可以用类似的方法得到。

辅助角公式

$a \sin \theta + b \cos \theta = \sqrt{a^2 + b^2} \sin(\theta + \varphi)$,其中 $\tan \varphi = \dfrac{b}{a}$。

证明:$a \sin \theta + b \cos \theta = \sqrt{a^2 + b^2}(\dfrac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \sin \theta + \dfrac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \cos \theta)$。

因为 $(\dfrac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}})^2 + (\dfrac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}})^2 = 1$,所以 $(\dfrac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}, \dfrac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}})$ 在单位圆上。

设 $\cos \varphi = \dfrac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}, \sin \varphi = \dfrac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$,代入上式,就可以得到辅助角公式。

正弦定理

在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即 $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}$。

证明:在 $\triangle ABC$ 外接圆上作点 $D$ 使 $BC \perp CD$,则 $BD$ 为直径,$\angle A = \angle BDC$。

在 $\text{Rt}\triangle BCD$ 中,$BC = 2R \sin \angle BDC$,即 $a = 2R \sin A$,即 $\dfrac{a}{\sin A} = 2R$。

同理得 $\dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R$。

余弦定理

三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍,即 $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$。

证明:$a^2 = (\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC})^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$。

基本不等式

$a^2 + b^2 \ge 2ab$。

证明:$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \ge 0$,即 $a^2 + b^2 \ge 2ab$。

代数基本定理

任何 $n(n \in \mathbb{N}^*)$ 次复系数多项式 $f(x)$ 至少有一个复数根。

这个定理的证明都需要用到数学分析的内容,因此略去。

之所以提到这个定理,是为了下面两个定理做铺垫。

虚根成对定理

如果虚数 $a + b\text{i}$ 是实系数一元 $n$ 次方程 $a_nx^n + a_{n - 1}x^{n - 1} + \cdots + a_1x + a_0 = 0$ 的根,那么它的共轭虚数 $a - b\text{i}$ 也是方程的根。

证明:设 $f(x) = a_nx^n + a_{n - 1}x^{n - 1} + \cdots + a_1x + a_0$,由共轭复数的性质,

$$\begin{aligned}\overline{f(x)} &= \overline{a_nx^n} + \overline{a_{n - 1}x^{n - 1}} + \cdots + \overline{a_1x} + \overline{a_0} \\ &= a_n\overline{x^n} + a_{n - 1} \overline{x^{n - 1}} + \cdots + a_1 \overline{x} + a_0 \\ &= a_n \overline x^n + a_{n - 1} \overline{x}^{n - 1} + \cdots + a_1 \overline x + a_0 \\ &= f(\overline x) \end{aligned}$$

韦达定理

如果复系数一元 $n$ 次方程 $a_nx^n + a_{n - 1}x^{n - 1} + \cdots + a_1x + a_0 = 0$ 在复数集 $\mathbb{C}$ 内的根为 $x_1, x_2, \cdots, x_n$,那么 $\sum \limits_{1 \le i_1 < i_2 < \cdots < i_k \le n} x_{i_1}x_{i_2}\cdots x_{i_n} = (-1)^k \dfrac{a_{n - k}}{a_n}$。

证明:由代数基本定理,$f(x) = a_nx^n + a_{n - 1}x^{n - 1} + \cdots + a_1x + a_0$ 可以分解为 $a_n(x - x_1)(x - x_2)\cdots (x - x_n)$,展开后观察对应项系数即证。

最小二乘法

对于一组具有线性相关关系的数据 $(x_1, y_1), (x_2, y_2), \cdots, (x_n, y_n)$,其回归直线 $y = bx + a$ 的斜率为 $\hat b = \dfrac{\sum \limits_{i = 1}^n(x_i - \overline x)(y_i - \overline y)}{\sum \limits_{i = 1}^n (x_i - \overline x)^2}$,$\hat a = \overline y - \hat b \overline x$。

Last modification:January 7th, 2023 at 01:06 am